Multivariate Anisotropic Translation Invariant Spaces on the Torus

In my PhD thesis Bergmann-2013-1 we investigated translation invariant spaces on anisotropic lattices, a corresponding fast Fourier transform as well as periodic wavelets and a fast wavelet transform. The corresponding wavelets are anisotropic and they are obtained by sampling smooth functions in the Fourier domain and hence have certain localization properties in time. Especially a generalization of the de la Vallée Poussin mean to the anisotropic multivariate case is derived and their corresponding wavelets are derived.

Furthermore the software package was developed within Mathematica and later transcribed to Matlab in order to be used within the homogenization project.

References

  1. Bergmann-2013-1
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    Bergmann, R.2013Translationsinvariante Räume multivariater anisotroper Funktionen auf dem Torus
    Dissertation, german, Universität zu Lübecksimilarily: Shaker Verlag, ISBN 978-3844022667, 2013.

    Die translationsinvarianten Räume sind seit Ende der 1980er Jahre ein wichtiges Werkzeug in der Zerlegung und Analyse von Daten und Funktionen. Sie stellen eine Funktion in verschiedenen Detailstufen dar, wobei sich auf jeder Stufe lokale Eigenschaften der Funktion in den Koeffizienten der Translate wiederfinden. Dazu ist es notwendig, dass die Funktionen einer solchen Zerlegung gut lokalisiert sind. Dies überträgt sich dann auf die von den Translaten der Wavelets aufgespannten orthogonalen Komplemente innerhalb der gestaffelten Räume. Neben diesen theoretischen Eigenschaften haben vor allem die schnellen Algorithmen der Wavelet-Transformation zur großen Verbreitung und Anwendung der Wavelets geführt. In den 1990er Jahren wurden periodische Wavelets entwickelt und in den letzten Jahren mehrdimensionale Wavelets, wie die Shearlets oder Curvelets, die insbesondere spezielle Richtungen in der Zerlegung einer Funktion bevorzugen.

    Diese Arbeit widmet sich den mehrdimensionalen periodischen translationsinvarianten Räumen, die insbesondere allgemeiner sind als diejenigen, die lediglich durch Tensorproduktbildung aus dem Eindimensionalen hervorgehen, und somit eine Anisotropie in ihren Fourier- Koeffizienten besitzen und gewisse Richtungseigenschaften haben. Diese Richtungspräferenz spiegelt sich auch in den Mustern wider, mit denen die Translate der Funktionen die hier betrachteten Räume bilden.

    Zunächst wird für die periodischen translationsinvarianten Räume auf dem Torus der Interpolationsfehler betrachtet. Dazu werden die anisotropen periodischen Strang-Fix-Bedingungen eingeführt und mit ihnen Fehlerabschätzungen angegeben, welche die Räume bezüglich der Approximationsgüte für Funktionen mit bestimmten Glattheitseigenschaften charakterisieren.

    Für die anisotrope periodische Wavelet-Transformation werden Algorithmen vorgestellt, die in ihrer Komplexität den schnellen Algorithmen der eindimensionalen Wavelets entsprechen und dabei insbesondere dimensionsunabhängig sind. Wichtigste Werkzeuge sind dazu die schnelle Fourier-Transformation und die den Wavelets zu Grunde liegenden Zwei-Skalen-Gleichungen der Multiskalen-Analyse. Außerdem wird durch diese Beschreibung eine Richtungsklassifikation der betrachteten Wavelets auf den Mustern möglich.

    Ausgehend von den de la Vallée Poussin-Mitteln wird dann eine Verallgemeinerung vorgestellt, bei der lokalisierte anisotrope periodische Wavelets konstruiert werden, deren Fourier-Koeffizienten als Abtastung einer beliebig glatten Funktion gegeben sind, deren Träger endlich ist. Dies verallgemeinert sowohl die eindimensionalen de la Vallée Poussin-Wavelets als auch die multivariaten Dirichlet-Wavelets. Für spezielle glatte Funktionen gelingt es, in der Konstruktion anstelle der rekursiven Definition eine explizite Darstellung der Fourier-Koeffizienten anzugeben und somit für diese lokalisierten Wavelets eine gesamte Multiskalen-Analyse zu konstruieren.

    @thesis{Bergmann-2013-1, school = {Universität zu Lübeck}, language = {german}, isbn_link = {https://www.shaker.de/de/content/catalogue/index.asp?lang=de&ID=8&ISBN=978-3-8440-2266-7}, author = {Bergmann, R.}, note = {similarily: Shaker Verlag, ISBN 978-3844022667, 2013.}, isbn = {978-3-8440-2266-7}, year = {2013}, title = {Translationsinvariante Räume multivariater anisotroper Funktionen auf dem Torus}, abstract = { Die translationsinvarianten Räume sind seit Ende der 1980er Jahre ein wichtiges Werkzeug in der Zerlegung und Analyse von Daten und Funktionen. Sie stellen eine Funktion in verschiedenen Detailstufen dar, wobei sich auf jeder Stufe lokale Eigenschaften der Funktion in den Koeffizienten der Translate wiederfinden. Dazu ist es notwendig, dass die Funktionen einer solchen Zerlegung gut lokalisiert sind. Dies überträgt sich dann auf die von den Translaten der Wavelets aufgespannten orthogonalen Komplemente innerhalb der gestaffelten Räume. Neben diesen theoretischen Eigenschaften haben vor allem die schnellen Algorithmen der Wavelet-Transformation zur großen Verbreitung und Anwendung der Wavelets geführt. In den 1990er Jahren wurden periodische Wavelets entwickelt und in den letzten Jahren mehrdimensionale Wavelets, wie die Shearlets oder Curvelets, die insbesondere spezielle Richtungen in der Zerlegung einer Funktion bevorzugen. Diese Arbeit widmet sich den mehrdimensionalen periodischen translationsinvarianten Räumen, die insbesondere allgemeiner sind als diejenigen, die lediglich durch Tensorproduktbildung aus dem Eindimensionalen hervorgehen, und somit eine Anisotropie in ihren Fourier- Koeffizienten besitzen und gewisse Richtungseigenschaften haben. Diese Richtungspräferenz spiegelt sich auch in den Mustern wider, mit denen die Translate der Funktionen die hier betrachteten Räume bilden. Zunächst wird für die periodischen translationsinvarianten Räume auf dem Torus der Interpolationsfehler betrachtet. Dazu werden die anisotropen periodischen Strang-Fix-Bedingungen eingeführt und mit ihnen Fehlerabschätzungen angegeben, welche die Räume bezüglich der Approximationsgüte für Funktionen mit bestimmten Glattheitseigenschaften charakterisieren. Für die anisotrope periodische Wavelet-Transformation werden Algorithmen vorgestellt, die in ihrer Komplexität den schnellen Algorithmen der eindimensionalen Wavelets entsprechen und dabei insbesondere dimensionsunabhängig sind. Wichtigste Werkzeuge sind dazu die schnelle Fourier-Transformation und die den Wavelets zu Grunde liegenden Zwei-Skalen-Gleichungen der Multiskalen-Analyse. Außerdem wird durch diese Beschreibung eine Richtungsklassifikation der betrachteten Wavelets auf den Mustern möglich. Ausgehend von den de la Vallée Poussin-Mitteln wird dann eine Verallgemeinerung vorgestellt, bei der lokalisierte anisotrope periodische Wavelets konstruiert werden, deren Fourier-Koeffizienten als Abtastung einer beliebig glatten Funktion gegeben sind, deren Träger endlich ist. Dies verallgemeinert sowohl die eindimensionalen de la Vallée Poussin-Wavelets als auch die multivariaten Dirichlet-Wavelets. Für spezielle glatte Funktionen gelingt es, in der Konstruktion anstelle der rekursiven Definition eine explizite Darstellung der Fourier-Koeffizienten anzugeben und somit für diese lokalisierten Wavelets eine gesamte Multiskalen-Analyse zu konstruieren. }, type = {Dissertation}, }
  2. Bergmann-2013-2
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    Bergmann, R.2013The fast Fourier transform and fast wavelet transform for patterns on the torus
    Applied and Computational Harmonic Analysis35139–51

    We introduce a fast Fourier transform on regular d-dimensional lattices. We investigate properties of congruence class representants, i.e. their ordering, to classify directions and derive a Cooley–Tukey algorithm. Despite the fast Fourier techniques itself, there is also the advantage of this transform to be parallelized efficiently, yielding faster versions than the one-dimensional Fourier transform. These properties of the lattice can further be used to perform a fast multivariate wavelet decomposition, where the wavelets are given as trigonometric polynomials. Furthermore the preferred directions of the decomposition itself can be characterized.

    @article{Bergmann-2013-2, number = {1}, pages = {39–51}, doi = {10.1016/j.acha.2012.07.007}, author = {Bergmann, R.}, eprint = {1107.5415v2}, year = {2013}, eprinttype = {arXiv}, volume = {35}, journaltitle = {Applied and Computational Harmonic Analysis}, title = {The fast {F}ourier transform and fast wavelet transform for patterns on the torus}, abstract = { We introduce a fast Fourier transform on regular d-dimensional lattices. We investigate properties of congruence class representants, i.e. their ordering, to classify directions and derive a Cooley–Tukey algorithm. Despite the fast Fourier techniques itself, there is also the advantage of this transform to be parallelized efficiently, yielding faster versions than the one-dimensional Fourier transform. These properties of the lattice can further be used to perform a fast multivariate wavelet decomposition, where the wavelets are given as trigonometric polynomials. Furthermore the preferred directions of the decomposition itself can be characterized. }, }
  3. BergmannPrestin-2014
    Publication illustration image
    Bergmann, R., Prestin, J.2014Multivariate anisotropic interpolation on the torus
    in: Fasshauer, G., in: Schumaker, L.: Approximation Theory XIV: San Antonio 201327–44 arXiv 1309.3432

    We investigate the error of periodic interpolation, when sampling a function on an arbitrary pattern on the torus. We generalize the periodic Strang-Fix conditions to an anisotropic setting and provide an upper bound for the error of interpolation. These conditions and the investigation of the error especially take different levels of smoothness along certain directions into account.

    @inproceedings{BergmannPrestin-2014, pages = {27–44}, doi = {10.1007/978-3-319-06404-8_3}, booktitle = {Approximation Theory XIV: San Antonio 2013}, author = {Bergmann, R. and Prestin, J.}, editor = {Fasshauer, G. and Schumaker, L.}, eprint = {1309.3432}, year = {2014}, eprinttype = {arXiv}, title = {Multivariate anisotropic interpolation on the torus}, abstract = { We investigate the error of periodic interpolation, when sampling a function on an arbitrary pattern on the torus. We generalize the periodic Strang-Fix conditions to an anisotropic setting and provide an upper bound for the error of interpolation. These conditions and the investigation of the error especially take different levels of smoothness along certain directions into account. }, }
  4. BergmannPrestin-2015
    Publication illustration image
    Bergmann, R., Prestin, J.2015Multivariate periodic wavelets of de la Vallée Poussin type
    Journal of Fourier Analysis and Applications212342–369

    In this paper we present a general approach to multivariate periodic wavelets generated by scaling functions of de la Vallée Poussin type. These scaling functions and their corresponding wavelets are determined by their Fourier coefficients, which are sample values of a function, that can be chosen arbitrarily smooth, even with different smoothness in each direction. This construction generalizes the one-dimensional de la Vallée Poussin means to the multivariate case and enables the construction of wavelet systems, where the set of dilation matrices for the two-scale relation of two spaces of the multiresolution analysis may contain shear and rotation matrices. It further enables the functions contained in each of the function spaces from the corresponding series of scaling spaces to have a certain direction or set of directions as their focus, which is illustrated by detecting jumps of certain directional derivatives of higher order.

    @article{BergmannPrestin-2015, number = {2}, pages = {342–369}, doi = {10.1007/s00041-014-9372-z}, author = {Bergmann, R. and Prestin, J.}, eprint = {1402.371}, year = {2015}, eprinttype = {arXiv}, volume = {21}, journaltitle = {Journal of Fourier Analysis and Applications}, title = {Multivariate periodic wavelets of de la Vallée Poussin type}, abstract = { In this paper we present a general approach to multivariate periodic wavelets generated by scaling functions of de la Vallée Poussin type. These scaling functions and their corresponding wavelets are determined by their Fourier coefficients, which are sample values of a function, that can be chosen arbitrarily smooth, even with different smoothness in each direction. This construction generalizes the one-dimensional de la Vallée Poussin means to the multivariate case and enables the construction of wavelet systems, where the set of dilation matrices for the two-scale relation of two spaces of the multiresolution analysis may contain shear and rotation matrices. It further enables the functions contained in each of the function spaces from the corresponding series of scaling spaces to have a certain direction or set of directions as their focus, which is illustrated by detecting jumps of certain directional derivatives of higher order. }, }
  5. LangemannPrestin2009 Prestin, J., Langemann, D.2010Multivariate periodic wavelet analysis
    Applied Computational Harmonic Analysis28146–66

    General multivariate periodic wavelets are an efficient tool for the approximation of multidimensional functions, which feature dominant directions of the periodicity. One-dimensional shift invariant spaces and tensor-product wavelets are generalized to multivariate shift invariant spaces on non-tensor-product patterns. In particular, the algebraic properties of the automorphism group are investigated. Possible patterns are classified. By divisibility considerations, decompositions of shift invariant spaces are given. The results are applied to construct multivariate orthogonal Dirichlet kernels and the respective wavelets. Furthermore a closure theorem is proven.

    @article{LangemannPrestin2009, pdf = {https://www.math.uni-luebeck.de/mitarbeiter/prestin/ps/lgmjppre.pdf}, number = {1}, author = {Prestin, J. and Langemann, D.}, volume = {28}, journaltitle = {Applied Computational Harmonic Analysis}, pages = {46–66}, doi = {10.1016/j.acha.2009.07.001}, year = {2010}, title = {Multivariate periodic wavelet analysis}, abstract = { General multivariate periodic wavelets are an efficient tool for the approximation of multidimensional functions, which feature dominant directions of the periodicity. One-dimensional shift invariant spaces and tensor-product wavelets are generalized to multivariate shift invariant spaces on non-tensor-product patterns. In particular, the algebraic properties of the automorphism group are investigated. Possible patterns are classified. By divisibility considerations, decompositions of shift invariant spaces are given. The results are applied to construct multivariate orthogonal Dirichlet kernels and the respective wavelets. Furthermore a closure theorem is proven. }, }